Определение

Минимальная подгруппа - Пусть $S \subset G$, где $G$ - группа. Веберем подгруппу $H \subset G$, содержащую $S$ и такую, что для всякой подгруппы $K \subset G$ (причем $S \subset K$) $\implies H \subset K$.

Таким образом $H$ - минимальная подгруппа $G$, содержащая $S$.

Своими словами
Пусть подгруппа $K$ - любая подгруппа $K \subset G$,которая также содержит $S$.
Веберем такую подгруппу $H \subset G$, содержащую $S$, причем такую, что для всякой подгруппы $K$ справедливо: $H \subset K$.