Следствие

Доказательство

Замечание

Подгруппа $<S> \subset G$ совпадает с множеством $T$, состоящим из единичного элемета $e \subset G$ и всевозможных произведений.
$t_{1} t_{2}\dots t_{n}, n=1,2,3\dots,$ где
$t_{i} \in S, \text{ либо } t_{т}^{-1}, 1 \leq i \leq n$

Доказательство

1. $t_{1}*t_{2}*\dots * t_{n} \in T \wedge t'_{1} * t'_{2} * \dots * t'_{m} \in T =\dots$ $=t_{1} * t_{2} * \dots t_{n} * t'_{1} * t'_{2}* \dots * t'_{m} \in T$
2. $t_{1}*t_{2}*\dots*t_{n} \in T \implies t_{1}^{-1} * t_{2}^{-1} * \dots * t_{n}^{-1} \in T$

Замечание

Необязательно, что все произведения вида $t_{1}t_{2}$ являются различными элементами подгруппы $<S>$.
Каждая подгруппа $G$ порождается какой-нибудь системой образующих. Например в качестве $S$ можно взять всю группу $G$.