Теорема

Доказательство

Пересечение $\bigcap\limits_{i \in I} H_{i}$ любого семейства $\{H_{i}, i \in I\}$ подгруппы $G$ является подгруппой.

Доказательство

Пусть $e$ - единичный элемент группы G. В силу определения подгруппы $e \in H_{i} \text{ } \forall i \in I \implies \bigcap\limits_{i \in I}H_{i}$.
Если $x,y \in \bigcap\limits_{i \in I}H_{i} \implies x,y \in H_{i},\forall i \in I \implies\dots$
$\implies x,y \in H_{i}, \forall i \in I \implies x,y \in \bigcap\limits_{i \in I}H_{i}$
Аналогично: $x \in \bigcap\limits_{i \in I} H_{i} \implies x^{-1} \in \bigcap\limits_{i \in I} H_{i}, \forall i$