Теорема

Доказательство

Порядок любого элемента $a \in G$ равен кардинальному числу $\text{Card}<a>$. Если $a$ - элемент конечного порядка $q$, то:
$$<a>=<e,a,a^2,\dots,a^{q-1}>$$
$$a^k=e \iff k=lq,l \in \mathbb{Z}$$

Доказательство:

Если $a$ - элемент бесконечного порядка, то утверждение теоремы очевидно.
Если $a$ - элемент порядка $q \in \mathbb{N}$, тогда элементы $e,a,a^2,\dots,a^{q-1}$ различны. Любая другая степень $a^k совпадает с одним из этих элементов, и $k=lq+r, 0\leq r\leq q-1$
Тогда $a^k=a^{lk+r}=a^{lq}*a^r=(a^q)^l*a^r=a^r$
В частности $a^k=e \iff r=0 \iff k=lq$