Теорема

Доказательство

Для мултипликативных групп:
$$\forall m,n \in \mathbb{Z}$$
$$a^{m}a^{n}=a^{m+n} \wedge (a^{m})^{n} = a^{mn}$$
Для аддитивных групп:
$$ma+na=(m+n)a \wedge n(ma)=(nm)a$$

Доказательство

1. $m \geq 0$, $n \geq 0$
   $a^{m}a^{m}=$
   $(a*\dots*a(m \text{ раз})) * (a*\dots*a(n \text{ раз}))=a^{m+n}$

2. $m < 0, n > 0$
   Пусть $m'=-m>0, n<0$
   $a^{m}a^{m}=$
   $(a^{-1}*\dots*a^{-1}(m \text{ раз})) * (a*\dots*a(n \text{ раз}))=$
   $=a^{m'-n}=a^{m+n}(n>m)$

3. $m>0, n<0$ аналогично п.2

4. $m<0,n>0$ аналогично п.1