Теорема

Доказательство

Пусть $G=<x>$ - циклическая группа. Тогда:
1. Любая подгруппа $H \subset G$ - сама циклическая;
2. Любой элемент бесконечной циклической группы, кроме единицы, имеет бесконечный порядок.

Доказательство:

1. Пусть $G=<x>,H$ - подгруппа.
   a) $H=\{e\}$, тогда $H$ - циклическая;
   b) $H \neq \{e\}$, тогда существует $y \in G: y\neq e \wedge y \in H$.

Т.к. $y \in G, \text{ то } \exists n \in \mathbb{Z}:y=x^n$.
Поскольку $H$ - подгруппа $G$, то $y^{-1}=x^n$, поэтому можно считать, что $n \in \mathbb{N}$.

Пусть $m$ - наименьшее (положительное натуральное число), для которого
$$x^m \in H, x^{m-1} \notin H$$
Имеем: $<x^m> \subset H$.

Докажем, что $H \subset <x^m>$
Действительно, пусть $z \in H$, тогда $z=x^p$, $p \in \mathbb{Z}, p=mq+r$, где $0\leq r\leq m$.

Поэтому $x^r=x^{p-mq}=x^p(x^m)^{-q}$. Таким образом $H \subset <x^m>$
Следовательно, $H=<x^m>$, $H$ - циклическая.

1. Пусть $G=<x>, |x|= \infty$. Пусть $y \in G \wedge y \neq e$
   Тогда $y^n=(x^k)^n=x^{kn}=e$ и $|x|=\infty$ - противоречие.