Утверждение

Доказательство

Мощность симметрической группы равно факториалу количества перестановок.
$$|S_{n}|=n!$$

Доказательство

Перестановкой $\sigma$ символ 1 можно перевести в любой другой $\sigma(1)$, для него существует $n$ возвожностей. Зафиксировав $\sigma(1)$, мы имеем право выбрать в качестве $\sigma(2)$ лишь один из оставшихся $n-1$ символов, в качестве $\sigma(3)$ можем выбрать один из $n-2$ символов и т.д.

Следовательно, всего возможностей выбора $\sigma(1),\sigma(1),\dots,\sigma(n)$ будет:
$$n(n-1)*\dots*1=n!$$
Таким образом $|S_{n}|=\text{Card} S_{n}=n!$