Утверждение

Доказательство

Разбиение множества классов $X$ - это множество классов эквивалентности по отношению $\sim$. Т.е. $X$ является объединением пересечения подмножеств (классов эквивалентности).

Это разбиение обозначается $\pi \sim (X)$.

Доказательство

$$x' \in \bar{x} \implies X = \bigcup\limits_{x \in X} \bar{x} $$ Класс $\bar{x}$ однозначно определяется любым своим предстваителем, т.е: $$ \bar{x}=\bar{x'} \iff x \sim x':x\sim x'\wedge x''\sim x \implies x''\in\bar{x} $$ $$ x \sim x' : x \sim x' \implies x' \sim x \implies \bar{x'} \subset \bar{x}, \text{ поэтому } \bar{x'}=\bar{x}$$

Покажем, что различные классы эквивалентности не пересекаются
Пусть $\bar{x'} \cap \bar{x''} \neq \emptyset$ и $x \in \bar{x'} \cap \bar{x''}$, тогда $x \sim x'' \wedge x' \sim x'' \implies \bar{x'} = \bar{\bar{x'}}$

Т.е. классы эквивалентности либо не пересекаются, либо не совпадают.