Группа внутренних автоморфизмов - $\text{Inn }G$

Рассмотрим отношения $I_a:G\to G$ такие, что $I_{a}:g \mapsto aga^{-1}$
Тогда $I_a$ - автоморфизм группы $G$.

1. Инъективность
   $aga^{-1}=ag_{1}a^{-1}\implies g=g_{1}$

2. Сюрьективность
   Пусть $g \in G$, тогда $a^{-1}ga:I_{a}(a^{-1}ga)=aa^{-1}gaa^{-1}=g$

3. $I_{a}(g_{1}g_{2})=ag_{1}g_{2}a^{-1}=ag_{1}a^{-1}\text{ }ag_{2}a^{-1}=I_{a}(g_{1})I_{a}(g_{2})$
   $\{I_{a}, a \in G\} \overset{\operatorname{def}}{=} \text{Inn }G \subset \text{Aut } G$

$\text{Inn }(G)$ здесь называется групполй внутренних автоморфизмов, т.к. $(I_{a})^{-1}=Ia^{-1}$ (здесь $I_{a}$).
Отношение: $f: G \to \text{Inn }(G)$

При соответствии $G \owns a \mapsto I_{a}$ операция сохраняется:
$$\begin{split} ab\to I_{a} \circ I_{b}:f(a)\circ f(b)=I_{a}*I_{b}(g)=I_{a}(I_{b}(g))=\\=I_{a}(bgb^{-1})=abgb^{-1}a^{-1}=abg(ab)^{-1}=I_{ab}(g)=f(ab) \end{split}$$

Но $f$ - не обязательно биекция. Например если $G$ - абелева группа, то $aga^{-1}=g, \forall a \in G$.
В этом случае все $L_{a}=\text{Id }G = e \in \text{Aut }G$