Теорема

Доказательство

Все циклические группы одного и того же порядка (в т.ч. бесконечного) изоморфны.

Доказательство

1. Пусть $<g>$ - бесконечная циклическая группа. Тогда все степени $g^n, n \in \mathbb{Z}$ различны и изоморфизм $f: <g> \to (\mathbb{Z}, +)$ такой, что $g^n \mapsto f(g^n)=n$.

Биективность очевидна.
$g(g^{m}g^{n})=f(g^{m+n})=m+n=f(g^m)+f(g^n)$
Кроме того $G \cong G_{1} \cong G_{2} \implies G \cong G_{2}$
(Отношение изоморфности групп является отношением эквивалентности)

1. Пусть $G={e, g, \dots,g^{q-1}}$ и
   $G'={e',g',\dots,(g')^{q-1}}$ - две циклические группы порядка $q$,
   тогда: $f: g^k \mapsto (g')^{k}$. $f$ - биекция и:
   $$f(g^m*g^n)=g(g^{m+n})=m+n=lq+r, e \in \mathbb{Z}, 0 \leq r \leq q =$$
   $$= f(g^{lq+r})=f(g^r)=(g')^r=(g')^{r}*(g')^{lq}=(g')^{r+lq}=$$
   $$(g')^{m+n}=(g')^m*(g')^n=f(g^m)*f(g^n).$$