Определение

Утверждение

Доказательство

Изоморфными называются две группы $G$ и $G'$ с бинарными операциями $*$ и $\circ$, если существует отображение $f: G \to G'$ для которого выполняется:
1. $f(a*b)=f(a \circ b)$
2. $f$ - биекция

Изоморфность групп обозначается как $G \cong G'$.

Утверждение

Если группы $G$ и $G'$ изоморфны, то:
1. $f(e_{G})=e_{G'}$
2. $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$
3. $f^{-1}$ - изоморфизм

Доказательство

1. $e_{G}*a=a*e_{G}\implies f(e_{G}*a)=f(e_{G})\circ f(a)=f(a)$
   $f(a*e_{G})=f(a)\circ f(e_{G})=f(a)$

$f(a)$ пробегает в $G'$, т.к. $f$ - сюръекция, то $f(e_{G})$ - единичная группа.

1. $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$
   Действительно:
   $$\begin{equation*} \begin{rcases} f(a)*f(a^{-1})=f(a*a^{-1})=f(e_{G})=e_{G} \\ f(a) \circ f(a^{-1})=f(a*a^{-1})=f(e_{G})=e_{G} \end{rcases} \implies f(a^{-1})=f(a)^{-1} \end{equation*}$$
2. $f^{-1}$ - изоморфизм
   Т.к. $f$ - биекция, то $f^{-1}$ - существует.

Пусть $a',b' \in G'$, но т.к. $f$ - биекция:
$\exists a,b | f(a)=a' \wedge f(b)=b'$, тогда
$f^{-1}(a')=a \wedge f^{-1}(b')=b$

Т.к. $f$ - изоморфизм, то $a' \circ b'=f(a) \circ f(b)=f(a*b)$
$f^{-1}(a'*b')=f^{-1}(f(a) \circ f(b))=f^{-1}(f(a*b))=a*b=f^{-1}(a')*f^{-1}(b')$