Теорема

Доказательство

Любая конечная группа порядка $n$ изоморфна подгруппе симметрической группы $S_n$.

Доказательство

Пусть $G$ - группа, $|G|=n$
Можно считать, что $S'_{n}$ - группа всех биекций $G$ на себя.
Для любого элемента $a \in G$ рассмотрим отношение:

$L_{a}=G \to G$ - определяемое формулой;
$L_{}a(G)=ag$

Если $g_{1}, g_{2}, \dots , g_{n}$ - все |элементы группы $G$, то $ag_{1}, \dots, ag_{n}$ - будут те же элементы группы, но переставленные в другом порядке.

$$ag_{1}=ag_{2}; a^{-1}ag_{1}=a^{-1}ag_{2}\implies g_{1}=g_{2}$$
Т.е. $L_{a}$ - биекция, обратным к $L_{a}$, очевидно, будет $La^{-1}$ (тут $L_{a}$).
Единичным отношением будет $L_{e}$

$$L_{ab}(g))=abg=a(bg)=L_{a}(L_{b}(g))$$
$$L_{ab}=L_{a} \circ L_{b}$$
$\{L_{e}, L_{g_{2}}, \dots, L_{gn} \}$ - группа, относительно операции композиции, которую обозначим за $H$, поэтому:
$H \subset S_{n}=S(G)$
Рассмотрим отношение
$\psi: a \mapsto L_{a}$
$\psi: G \mapsto S_{n}$

Тогда $\psi$ - изоморфизм.

1. $\psi$ - биекция
   $a_{1} \mapsto L_{a}$
   $a \mapsto L_{a}$

2. $ab \mapsto L_{a} \circ L_{b}$
   $ab \mapsto L_{a} = L_{a} \circ L_{b}$

Мы получили: $G \cong H \subset S_{n}$