12.02.2022

Свободные группы

Пусть $\Omega$ - класс группы.
Определение: говорят, что группа $F=(x;|i \in I)$ из $\Omega$ есть свободная группа в классе $\Omega$ со свободным порождающим множеством $\{x_{i}|i \in I\}$, если для любой группы $G \in \Omega$ с порождающим множеством $\{a_{i}|i \in I\}$ отображение $x_{i} \mapsto a_{i}$ продолжается до комоморфизма $F \to G$.

Множество $\{x_{i} | i \in I\}$ будем называть базой $F$, мощность множества $I$ называется степенью свободы свободной группы.

Можно показать, что не всякий класс групп обладает свободными группами.
В классе абелевых свободные группы существуют.

Теорема: прямые суммы бесконечных циклических групп и только они являются свободными группами в классе абелевых групп. $<x_{1}>\oplus<x_{2}>\oplus<x_{2}>$

Элементы порождающего множества $M$ любой группы $G$ могут быть связаны соотношениеми в $G$, т.е. прозиведения самих этих элементов и элементов, к ним обратных, могут развиваться равняться единице.

Например, $\forall x \in M, x^{-1}x=e,xx^{-1}=e$
Последующие соотношения, будучи следивиями аксиом, выполняются в любой группе и поэтому называются трививальными.

Очевидно, существют группы, не допускающие в некотором порождающей множестве никаких нетривиальных соотношений - "своодные от соотношений".

Пусть $I$ - некоторое множество. Пусть группа $G$ порождается множеством элементов $x_{i}, i \in I$. Тогда элементы группы $G$ изображаются словами $x_{i_{1}}^{\epsilon_{1}}\dots x_{i_{m}}^{\epsilon_{m}}, \epsilon_{j}= +-1$, а их произведение изображается приписыванием слова с слову.

Пусть $X=\{x_{i}|i \in I\}, X^{-1}=\{x_{i}^{-1}|i \in I\}$
Слово в алфавите $X$ это пустая (обозначается единицей) последовательность или конечная последовательность символов из объежинения $X \cup X^{-1}$. Число элементов этой поседовательности называется длиной слова.
Слово назовём сократимым, если оно содержит соседние символы вида $x_{i}^{\epsilon}, x_{i}^{-\epsilon}, \epsilon=+-1$.
Например:
$x_{2}x_{1}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3}$ - несократимо
$x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{3}$ - сократимо

$[x_{i_{n}}^{-\epsilon_{n}},\dots,x_{i_{1}}^{-\epsilon_{1}}]$ : будем говорить, что два слова $n$ и $v$ эквивалентны ($n \sim v$), если $v$ можно получить из $n$ через конечное число вставок и сокращений слов вида $x_{i}^{\epsilon}, x_{i}^{-\epsilon}$.

Пример: $x_{1}x_{2}x_{2}^{-1} \sim x_{1}x_{3} \sim x_{1}x_{3}x_{3}x_{3}^{-1} x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}x_{3} \sim x_{7}^{-1}x_{2}x_{1}x_{3}x_{3}x_{3}^{-1}$.

Ясно, что $\sim$ - отношение эквивалентности. Все слова эквивалентные слову и будем обозначать $[u]$

Теорема: Пусть $X = \{ x_{i} | i \in I\}$. На множестве $F(X)$ классов эквивалентности слов в алфавите $X$ определим умножение, полагая $[u][v]\overset{\operatorname{def}}{=}[uv]$ (здесь никакого умножения нет. это по определению). Это определение не зависит от случайного выбора представителей в классах.

Множество $F(X)$ является группой относительно этого умножения.

Доказательство: любой смежный класс эквивалентных слов содержит единственное слово. Действительно $\rho(u)$ обозначает несократимое слово, полученное из $u$ последовательными вычеркиваниями самого правого подслова
$x_{i}^{\epsilon}, x_{i}^{-\epsilon}$. Функция $\rho$ обладет следующими свойствами:

$\rho(u) \sim i$ (графически равно) (1)
$\rho(u) \equiv u$ , если $u$ несократимо (2)
$\rho(uv) \equiv \rho(u\rho(v))$ (3),
$\rho(x_{i}^{\epsilon}x_{i}^{-\epsilon}u) \equiv \rho(u)$ при $\epsilon=+-1$ (4)

$\rho(nx_{i}^{\epsilon}x_{i}^{-\epsilon}v) \equiv \rho(uv)$ при $\epsilon=+-1$ (5)
$\rho(uv)=\rho(\rho(u)\rho(v))$ (6)

5 следует из 3

Незавимимость произведения $[u][v]$ от выбора представитлей $u,v$ вытекает из формулы (6).
Ассоциативность умножения вытекает из определения умножения классов
Единица это - класс содержащий пустое слово $[\emptyset]$, обратный классу $[x_{i_{1}}^{-\epsilon_{1}},\dots,x_{i_{n}}^{-\epsilon_{n}}]$ - класс $[x_{i_{n}}^{-\epsilon_{n}},\dots,x_{i_{1}}^{-\epsilon_{1}}]$

Определение: группа $F(X)$ называется свободной группой со свободным порождающим множеством $X$, а мощность этого множества $X$ называется степенью свобода группы $F(X)$.

Если $X \subset \{x_{1},\dots,x_{n}\}$, то вместо $F(X)$ пишут $F_{n}(x)$ или просто $F_{n}$.
Если $F(X)$, пишут $F_{\infty}(x)$ или $F_{\infty}$

Теорема: пусть группа $G$ порождается множеством $M=\{g_{i}|i \in I\}$. Отношение $X \to M$ по правилу $x_{i} \mapsto g_{i}$. единственным образом продолжается до гомоморфизма $f: F(X) \to G$

Доказательство: Положим $f([x_{i_{1}}^{\epsilon_{1}},\dots, x_{i_{n}}^{\epsilon_{n}},])=g_{i_{1}}^{\epsilon_{1}},\dots,g_{i_{m}}^{\epsilon_{m}},$. Корректность .... и гомоморфизм этого соотношения вытекаетиз определений.

Определение: элементы ядра $H$ гомоморфизма $f:F(X)\to G$ называется соотношением группы $G$ в алфавите $X$.
Если множество $H'$ соотношений таково, что минимальная нормальная подгруппа в $F(X)$ называется определяющим множеством соотвтствий в алфавите $X$.

Т.к. $G=\frac{F(X)}{H}$, то задание алфавита $X$ и множества $H$ полностю определяет группу $G$.

Определение: Пару $(X,H')$ будем называть генетическим кодом группы $G$.

Группы, допускающие конечный генетический код называется конечно определенны