12.16.2022

Пусть у нас с вами  j где и пробегает множество И большое некоторое бесконечное семейство групп.

Тогда их декартовое произведением П (декартовое значит черточка вверху ставится) называется группа состоящая всевозможных функций f : I -> U Gi, f(i)

Функция с умножением ф1 умножить на ф2 это просто по определению $f_1(i)$ $f_{2}(i)$

Формализуется как функция. Каждому элементу ставится элемент i. Реально это будет так

f(1) = $g_{1}$ f(2) = $g_{2}$

Ввели операцию. Надо проверить ассоциативность. Существование единицы и существование обратного. Кажется что затруднений не будет, сводится к ассоциативности в самих группах.

Имеется $f_{1}$, $f_{2}$ , $f_{3}$ $\in$ $G_{i}$

$f_{1}$ * $f_{2}$ * $f_{3}(i)$ = ($f_{1}$ * $f_{2}$)(i) * $f_{3}(i)$

($f_{1}(i)$ * $f_{2}(i)$) * $f_{3}(i)$ = $f_{1}(i)$ * ($f_{2}(i)$ * $f_{3}(i)$)

$f_{e}$ : $I$ -> $G_{i}$; $f(i)$ = $e_{i}$

($e_{i}$ - единица группы $G_{i}$)

Берем любую f $\in$ $G_{i}$ имеется $f*$ $f_{e}(i)$ = $f(i)*f_{e}(i)$ = $f(i)*e_{i}$ = $f(i)$ $\to$ $f*f_{e}$=f

Ищем обратный

Для любого $f\in G_{i}$, $f^{-1}*f(i)$=$f^{-1}*f(i)$=$(f(i))^{-1}*f(i)$=$f_{i}$

Мы показали, что $f^{-1}*f=f_{e}$, аналогично

$f^{-1}*f=f_{e}$
Мы доказали, что является группой относительно введенной операции.

Определение

Носителем функции $f\in \Pi_{i\in I} G_{i}$ называется множество $supp(f)$ тех индексов $i$ для которых $f(i)\neq e_{i}$

Определение

Подгруппа $\prod_{i\in I} G_{i}$ состоящая из всех элементов $f\in \prod_{i\in I} G_{i}$ конечным носителем называется прямым произведением групп $G_{i}$

Пояснение:
Она выглядит так

Натуральный ряд
1, 2, ..., i, ...

$g(1),g(2),\dots,g(i),\dots$

Это имеет конечный носитель если здесь конечное число отличных от единицы.

Грубо говоря мы можем, сказать что есть такое н после которого все остальные есть единички.

Если мы занумеровали (самый простой случай) что занумеровали натуральный ряд. Начиная с некого номера там везде кругом единицы. И тогда функция обладает конечным носителем. Прямое произведение состоит из таких функций которое принимает конечное число неединичных значений.
Ясно что она будет подгруппа, единственное надо проверить замкнутость, здесь на конечном числе месть и другой функции, в крайнем случае будет сумма.

Пусть А и В группы. Обозначим Fun (В,А), fun (В,А) декартовое произведение -> Fun, а прямое произведение  -> fun.

Изоморфных копий () группы А, где I = B. У нас все $G_{i}$ = A (изоморфны), I = B.

Функция выглядит так, b не понятной мощности, но положим что $b_{1}$$b_{2}$ (между ними операции нет)...$b_{ k}$... (точки это не операции, а просто перечисление)
(сами b играют роль i чтобы мы не путались ставили k индекс для перечисления этих i).

$b_1, b_2, \dots b_k$
$a_1, a_2,\dots a_k$

$A \times A \times \_ \times A$
$b_1 b_2 \dots b_n$

Определение

Декартовым сплетением $AW_{r}B$ группы А и B называется множество B Fun (B,A) <- множество упорядоченных пар с умножением. Берем элемент b f * b' f' = bb'

(b,f)*(b',f)=(bb',$f^{b'}$f')

Итак начинаем