Перейти к содержанию

12.23.2022#

Протокол на векторном пространстве и групповом кольце#

Пусть G - произвольная группа

Определение. \mathbb{Z}(G) будем обозачать целочисленное групповое кольцо, элементами которого являются формальная сумма вида

где m_{g}\in\mathbb{Z}, причем лишь конечное число m_{g} отлично от нуля, операции сложения и умножения на этом множестве определяются следующим образом:

  1. \sum\limits_{g\in G}m_{g}g+\sum\limits_{g\in G}n_{g}g=\sum\limits_{g\in G}(m_{g}+n_{g})g
  2. (\sum\limits_{g\in G}(m_{g}g)(\sum\limits_{g\in G}h_{g}g)\overset{\operatorname{\det}}{=}\sum\limits_{g\in G}(\sum\limits_{uv=g}m_{u}n_{v})g
(\sum\limits_{g\in G}k_{g}g*\sum\limits_{g\in G}m_{g}g)\sum\limits_{g\in G}n_{g}g=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{uv=g}(k_{u}m_{v})g*\sum\limits_{g\in G}n_{g}g= $$ $$ =\sum\limits_{g\in G}(\sum\limits_{tw\subset g}(\sum\limits_{uv=g}k_{u}m_{v})n_{w}) $$ $$ (\sum\limits_{g\in G}k_{g}g)(\sum\limits_{g\in G}m_{g}g*\sum\limits_{g\in G}n_{g}g)=(\sum\limits_{g\in G}k_{g}g)(\sum\limits_{g\in G}(\sum\limits_{u-v\in G}m_{u}m_{v})g)
=\sum\limits_{g\in G}(\sum\limits_{wt\subset G}k_{w}(\sum\limits_{uv\in g}))\dots $$

$$

Ассоциативность очевидна.
Таким образом \mathbb{Z}(G) является ассоциативным кольцом с единицей
e_{g}=\sum\limits_{g \in G}m_{g}g
0=\sum\limits_{g \in G}m_{g}g,m_{g}=0 \forall g \in G
Пример:
Пусть G=\mathbb{Z}_{3}=\{0,1,2\}
(3g_{2}+2g_{3})+(2{g_{1}}+g_{2}+g_{3})=
=2g_{1}+4g_{2}+3g_{3}=2*0+4*1+3*2
(3g_{2}+2g_{3})(2g_{1}+g_{2}+g_{3})

ДЗ №1: докозать гомоморфизм колец если группы гомоморфны, где \phi - гомоморфизм групп, а \phi^* - гомоморфизм колец.