Определение

Отношение эквивалентности для смежных классов

Отношение эквивалентности для:
- левой смежности: $a \sim b\overset{\operatorname{def}}{=}a^{-1}b \in H$
- правой смежности: $a \sim b\overset{\operatorname{def}}{=}ab^{-1} \in H$

Доказательство

Докажем, что это отношение эквивалентности:
1. Рефлективность: $a \sim a$, т.к.:
$a^{-1}a=e \in H$

1. Симметричность: $a \sim b \implies b \sim a$, т.к.:
   $a \sim b \implies a^{-1}b \in H \implies (a^{-1}b) \in H \implies b^{-1}a \in H \implies b \sim a$

2. Транзитивность: $a \sim b \wedge b \sim c \implies a \sim c$, т.к.:
   $$\begin{equation*} \begin{rcases} a \sim b \implies a^{-1}b \in H \\ b \sim c \implies b^{-1}c \in H \end{rcases} \implies a^{-1}bb^{-1}c \in H \implies a^{-1}c \in H \implies a \sim c \end{equation*}$$