Определение

Разбение групп на непересекающиеся классы - отношение левой смежности и правой смежности задают разбиение группы на непересекающиеся классы, которые совпадают (в силу утверждения) с разбиением на левые(правые) смежные классы. В частности левые(правые) смежные классы попарно не пересекаются. Следует из доказательства об отношении эквивалентности для смежных классов.

Отображение из соседних смежных классов
Пусть $\phi: gH \mapsto Hg,$
Пусть $\psi: Hg \mapsto gH$
$\{gH,g \in G\} \{Hg, g \in G\}$
$\phi: A \to B$
$\psi: B \to A$

Покажем, что $\phi$ и $\psi$ взаимно обратны.
$f,\phi$ - обратная для $f$ если $A \to B$
$f \circ \phi = \text{Id }A \wedge \phi \circ f = \text{Id } B$.

Действительно:
$\psi \circ \phi(gH)=\psi(\phi(gH))=\psi(Hg^{-1})=\dots$
$=(g^{-1})^{-1}H=gH, \psi \circ \phi = \text{Id } A$

$\phi \circ \psi(Hg)=\phi(\psi(Hg))=\phi(g^{-1}H)=\dots$
$=(Hg^{-1})^{-1}=Hg, \phi \circ \psi = \text{Id } B$

Таким образом $\phi$ - биекция.