Утверждение

Доказательство

Утверждение о обратимости представителей смежных классов:
1. $aH=bH \iff a^{-1}b \in H$
2. $Ha=Hb= \iff ab^{-1} \in H$

Доказательство

(для левых смежных классов)
$aH=bH \implies ah_{1}=bh_{2},$ где $h_{1},h_{2} \in H \implies$...
$\implies b^{-1}ah_{1}h_{1}^{-1}=b^{-1}bh_{2}h_{1}^{-1}\implies b^{-1}a=h_{2}h_{1}^{-1}\in H$

$a^{-1}\in H \implies$...
$\implies a^{-1}b = h \in H \implies$...
$\implies a^{-1}bH = hH \implies$...
$\implies a^{-1}bH=H\implies$...
$\implies aa^{-1}bH=aH \implies bH=aH$

Анологично доказывается для правых смежных классов.